模型及其讨论(2)
<口j<1,j=1,2,…m。6取0表示生存,1为失效。令Oi=f扎(一ln口j),对数·33·似然函数就是t lnLl(8}母IZ)=In(1一exp(一exp(Of+ j—IZI母7))一占exp(0。+ZI目7)(3--5) f·0全体病人的对数似然函数。 lnL((8,届IZ)=∑lnLI(D,卢IZ)(3—6)PG模型中参数19是相对危险性的直接估计,与Cox(1972)模型(2—8)的比数比例假定不同。基于(2—8)假定Thompson(1977)提出了一个以Logistic模型为基础的模型(下简称T模型)。’在r模型中假定病人失效时间分组如表1。表中si表示—群病人在第,个区间未失效,yI表示一群病人失效予第,个区间而L,表示一群病人截尾于第,个区间。允许时变量存在。如果—个病人在t。时刻进入研究,那么在(f·,t·+-)内的失效概率tS(t。lZ)一S(t¨l,Z)S(t。,Z),S(t。+I;Z)S(t.1Z)(1一S(tb+l lZ)、。硝i旷。s瓦i面…—丽珏f『~’(3—7)截尾概率。S(cIz)一S(t。+1’Z).S(t。,Z)S(t.,Z)』s(穗t}…嚣务(3—8,.1Z)S(t·IZ)一~襄1丁模型的时间划分和病人集合病人囊台人教区间…’一一…、…一一…‘一…一一生存失教羹尼生存失效截愿(tI·t,)SILIItl,t3)S:Ll; i iIt-.1-中1)S·L_因此全体病人的似然函数可表示为t■“11(1一Si(tj¨,Z)/Si(tf’z)) i。I ttVi㈦娶p蛰≮馏“S i。j、‘,,。7世喜磐争(3—9)一~’=n;h一“扎;h『。:“·34·式中st(‘f;z)是样本生存函数。同Cox模型假定(2—8),令l里主嬲=exp(zi吕7+口t)(3:。。)因此(3—9)的具体形式就是。T rn.A.7_、一卉nexp(Zi届7+口i)“哪∞2只I牙黼exP秽最),·,j上十【厶ip’十口:JH(1+exp(Zip7+口i))一18iⅡ(1+exp(Zi届7+口f)一172厶’(3一“)对数似然函数就是。 lnL(口,犀,Z)=∑(∑Zfp7+,口,一∑ fn(1+exp(ZiJ97-t-口i))~V;USi l i‘1+ex醌J87+口『))’(3.12) r模型也允许时变量的存在。上述三个模型均可以逐个处理样本数据,同时简化了计算,减少了计算量。因此降低了对于计算机内存和速度的限制,初步解决了Cox模型的参数估计问题。模型的参数估计方法同Cox模型(2—9),根据需要选择统计量。求解一般选用Newton—Raphson迭代法,收敛速度快而稳定,可以同时得到参数估计(口,卢)=(口】,…,口.,置1,…,|B,)和它们协方差阵y。估计值(et,p)服从渐近正态分布N(口;p,y)。四、三种Cox模型的比较t自从Cox(1972)创立了(2-6)、(2—9)模型,由于计算的复杂性,尤其是(2—9)对于大样本资料处理在现有条件下可行性很小。因此陆续有许多人提出了改进意见。代表性的有BresIow、Prentice和Gloeelde及Thompson。比较(3—1)、(3。6)、(3—9)三种适用于大样本资料的模型可以发现它们从不同角度考虑了失效时间的信息,均允许时变量Z(t)存在,能够分别对每一个样本数据逐一处理。(3-1)在资料中存在许多重迭的失效时间的情况下,结果欠佳。(3—6)式模型是危险函数概念的直接应用,但计算复杂而且解的存在和唯一性都未能很好地证明。引用Freireich¨2’的数据。我们编制了程序进行试算,不幸地是可能由于微机的精确性和有效位太少及模型本身性质等原因,从(口,p)=0的初始值出发,无法得到最优解,收敛速度慢。(3—9)是Cox模型的直接推论。理论上的研究巳表明它解的存在和唯一性,当分组无限分细时(3—9)模型的极限模型就是连续型的Cox模型(2—6)。此外T模型保持了Logistic模型的原假设应用范围广。仍用上述数据,用T模型处理,结果和Cox(1972)结论基本一致,收敛速度快而稳定。我们还用丁模型处理了其他大样本多重迭失效时间的数据,结果与此相同。因此T模型是一个很好的实用模型。表2是三个模型的实例计算}j果比较,数据采用了上述Freireich的资料。裹2三种Cox模型计算实例的结果模型BreslowP—G?选代攻致36藏止误差.001.2¨.001-Cox(1972)结暴InRR=1.65.本表计算韧值取0··P.G模型由于计算误整等原因迭代不囊进行.Dj scussion onCox’lModelYeZban,GuXing- yuan。Department ofHealthStatisticsSchool ofPublicHealthShanghatMedicalUntversity,ShanghaiCox'S model is olle of the mMtiple regression models,_hich has been developing since7071.Cox’s model is efficient to analysis correlations between incideuce and risk factors including survival data in cUni璐l me. dicine。for it make up deficiencies of traditional met— hods likeLife table。Contigency tabh andLogiItic model.However,it is difficult to get parameters’ estimates espesillly inCox7S model(XOTZ).OU the condition of large sample size or lots of tied failure times.Therefore,m矗ny statistichas have done much wort to improveCox's model.Through discussion their similarities and dtfferences,this paper shows an appraisal of three major pieces of the work,Then the paper gives a practical example·胪矾四他氓L k h“参考吏献1.Peto.R.,et a1.Design and analysis of rando. mized clinical trai_Is requiring prolonged ohserzafion of each patient.II.analysis and examples.J.Br.Cancer1976j3S:l一39.2.ManfredSGreea.,et a1.A comparison of the logistic risk funcfi6n and the proportional hazards model in prospective epidemiologie studies.J.Chro.Dis1983,36:75—724.3.Cox。D.R.Regression models and life table(vith dlsseussion).,.R.Star.Scr.B1972,3‘:187—220.4.Cox,D.R.Partial likelihood.Biometrka(t97s)I62:269—276.5.Kalbihisch,】.D.andPrentice,R.L.Marginal likelihoods based011C01【7 s regression and life model.Biometrika1973,$0:267—278.6.Breslov,N.E.Covariance analysis of censored·3S·●uHhl data.Biometrics1974I30一99.。7.Prentice,R.L.andGlockhr,L.A.Regression analysis of grouped survival data with appilcation to breastCs.ncer data.Biometrics197B,--87.8.Thompson。W.A.On the treatment of grouped observations in life studies.Biometrics l977I33:463—470.9.Prentice,R.L andKalbfldsch.Hazard rate models vith covariates.Biometrica1077I35:25—39。10.T.Kamakura andT.Yaaagimoto.Evaluation of the regression parameter esthnators in the proportional hazard model.Biometfika l口83。70:530--533.“.E1isa.T.Lee.AMonteCarlo study of the power of some two sample tests.Biometrika l975·62:425--431.12.Freireich.E.j,et11.。rhe effect of8-mercat· opourine on‰duration of steroid,induced remiss— io玛in acute hukamis.amodel for evaluation of otkr potentially useful therapy.Blood:699--716.